二进制、八卦与六十四卦（二）
也谈八卦的演进
宋朝学者邵雍认为四象演八卦（方位），八八生成六十四卦，此为伏羲八卦，也叫先天八卦；宋以后，八卦的次序出现“乾·坎·艮·震·巽·离·坤·兑”被称为“文王八卦次序”、即为“后天八卦”。
后天八卦在“人间事”的应用极广，堪舆、风水均使用后天八卦。有人认为先天八卦反映了世界未产生前的景象，而后天八卦是世界形成后的原理。个人猜测，先天八卦和后天八卦分别代表了立体垂直空间和平面空间，如清人张潮《幽梦影》中即有“先天八卦，竖看者也；后天八卦，横看者也”之句。
此外，已经占卜均使用六十四卦，那么六十四卦的来源或顺序又如何？固然可以用8×8的矩阵进行分析，但问题在于很多64卦的书籍顺序又并非按照8×8的顺序进行排列。如《高岛易断》中前若干象为：乾为天、坤为地、水雷屯、山水蒙、水天需、天水讼、地水师，分别对应000 000，111 111，101 110…看似完全没有规律。
因此，摆在我们面前的两个问题——后天八卦如何生成又如何被先圣人文王赋予了合理性；六十四卦的卦序究竟应为何又如何快捷的记忆并对应卦象/卦名/卦辞。本文继续从数理角度进行分析。
一、后天八卦与河图/洛书
后天八卦“乾·坎·艮·震·巽·离·坤·兑”从乾开始，自5点方位开始、顺时针一周（与先天八卦的蛇形分布不同）。按照前文的算法
分别对应：乾000、坎101、艮110 、震011、巽100、离010、坤111、兑001即为0，5，6，3，4，2，7，1。看似没有规律，但是结合“幻方”（洛书）即有：
3×3的幻方共有7种形式，万变不离其宗的是外圈的组合不可改变。因此，外圈字序从1开始顺时针计算可计为1，8，3，4，9，2，7，6；考虑到中心的5不参与排序，且卦象计数从0开始，故可计为0，6，2，3，7，1，5，4。该顺序与后天八卦的卦序存在较大差异，暂且按下不表。
考虑到河图更加简易，仅有上、下、左、右四个部分，首行为2（7）；次行为3（8）、5（10）、4（9）；末行为1（6）。
按照古代数理，奇数为生、偶数为成，河图共有5个元素（首/末各1，中行为3）。阳生阴养，若以奇数代表阳，偶数代表阴，与八卦的阴爻（⚋）和阳爻（⚊）相呼应。又有先人考刻稽古，有八宫所属五行：乾兑属金、坤艮属土、震巽属木、坎属水、离属火。而五行生克又满足“东方木、南方火、中央土、西方金、北方水”，因此南方离卦、北方坎卦、东方震卦、西方兑卦可以完成首轮初步的定位；
进一步考察邵雍所总结的“卦气”震、巽旺于春，离火旺于夏，乾、兑旺于秋，坎水旺于冬，坤、艮旺于辰、戌、丑、未。按照“春、夏、秋、冬”的顺序，则巽卦应在震与火之间，而春、秋相对故乾应在兑、坎之间；现在仅余坤、艮两土卦的定位。结合五行生克的规律：火生土、土生金，因此离卦、金卦中间应是土属性的坤卦；最后由冬转春，则是一个巨大的反转，水生木看似自然，实则经历了“水被土克、土被木克”的两重反转，因此艮卦位于坎卦、震卦之间。
综上，后天八卦是坎水北、离火南、震木东、兑金西、巽木东南、乾西北，余下坤卦在火、金之间西南位，艮卦在水、木之间东北位。由此观之，河图（幻方）对后天八卦相关性极低，后天八卦是由河图、五行综合产生的。由于引入了五行生克、方位循环的理论，所以与数学直观感受较远。
所幸，只有勘舆、风水等人间事才需要用到后天八卦。起蓍筹划所用，均为先天八卦。六十四卦亦是基于先天八卦所构造。
二、六十四卦的初步分析
六十四卦由上卦与下卦组成，上卦在上、下卦在下。《高岛易断》亦要求先取上卦、后取下卦、最后取变爻（如下图）：
六十四卦可查下表：
问题在于8×8六十四卦的分布并不存在直观的规律，仅拿天、泽、火、雷、风、水、山、地为例，这八个卦象由乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤按照顺序叠成，但是对应的序号分别为1、58、30、51、57、29、52、2；不论是从二进制还是从十进制角度观察都是不直观的。
考虑8×8的幻方，每行、每列及对角线的和均为 260。抽查六十四卦的分布并不使得行/列/对角线的和相等，采用后天八卦的顺序进行排列，结果同样无法实现各行列的和相等。因此亟需新的算法解释六十四卦的顺序问题。
进一步观察六十四卦图，可以看到，从乾开始，夬、大有、大壮、小畜…，直到复卦，可以理解为六位二进制数000 000到011 111，是为左半周、逆时针卦象。姤卦在乾右侧、是右半周的第一卦开始，若用二进制表示则为100 000；与先天八卦类似，右半周为顺时针分布，从100 000、100 001（大过）、100 010（鼎）…到坤卦111 111。
我们可以初步得出结论：8×8的矩阵观测64卦规律尚不明确，采用圆周观测更加直观。
三、六十四卦的计算与分解
本节采用二进制与十进制相结合的方法，结合中央编译出版社的《高岛易断》，进行对应性的分解。考虑到采用二进制便于进行技术、推理，但是上古时代缺乏0的概念，因此以顺序（十进制）标记，需要在二进制转换到十进制后在顺序数字+1（加一）、用中括号[…]表达；
· 乾000 000 [0,0] ，记作11，卦1——乾为天；
·夬 000 001 [0,1]，记作12，卦43——泽天夬；
·大有000 010 [0,2]，记作13，卦14——火天大有；
·大壮000 011 [0,3]，记作14，卦34——雷天大壮；
·小畜000 100 [0,4]，记作15，卦9——风天小畜；
·需 000 101 [0,5]，记作16，卦5——水天需；
·大畜 000 110[0,6]，记作17，卦26——山天大畜；
·泰000 111[0,7]，记作18，卦11——地天泰；
·履001 000[1,0]，记作21，卦10——天泽履；
·泽001 001[1,1]，记作22，卦58——兑为泽；
·睽001 010[1,2]，记作23，卦38——火泽睽；
·归妹001 011[1,3]，记作24，卦54——雷泽归妹；
·中孚001 100[1,4]，记作25，卦61——风泽中孚；
·节001 101[1,5]，记作26，卦60——水泽节；
·损001 110[1,6]，记作27，卦41——山泽损；
·临001 111[1,7]，记作28，卦19——地泽林；
·同人010 000[2,0]，记作31，卦13——天火同人；
·革010 001[2,1]，记作32，卦49——泽火革
·火010 010[2,2]，记作33，卦30——离为火
·丰010 011[2,3]，记作34，卦55——雷火丰
·家人010 100[2,4]，记作35，卦37——风火家人
·既济010 101[2,5]，记作36，卦63——水火既济
·贲010 110[2,6]，记作37，卦22——山火贲
·明夷010 111[2,7]，记作38，卦36——地火明夷
·无妄011 000[3,0]，记作41，卦25——天雷无妄
·随011 001[3,1]，记作42，卦17——泽雷随
·噬嗑011 010[3,2]，记作43，卦21——火雷噬嗑
·雷011 011[3,3]，记作44，卦51——震为雷
·益011 100[3,4]，记作45，卦42——风雷益
·屯011 101[3,5]，记作46，卦3——水雷屯
·颐011 110[3,6]，记作47，卦27——山雷颐
·复011 111[3,7]，记作48，卦24——地雷复
·姤100 000[4,0]，记作51，卦44——天风姤
·大过100 001[4,1]，记作52，卦28——泽风大过
·鼎100 010[4,2]，记作53，卦50——火风鼎
·恒100 011[4,3]，记作54，卦32——雷风恒
·风100 100[4,4]，记作55，卦57——巽为风
·井100 101[4,5]，记作56，卦48——水风井
·蛊100 110[4,6]，记作57，卦18——山风蛊
·升100 111[4,7]，记作58，卦46——地风升
·讼101 000[5,0]，记作61，卦6——天水讼
·困101 001[5,1]，记作62，卦47——泽水困
·未济101 010[5,2]，记作63，卦64——火水未济
·解101 011[5,3]，记作64，卦40——雷水解
·涣101 100[5,4]，记作65，卦59——风水涣
·水101 101[5,5]，记作66，卦29——坎为水
·蒙101 110[5,6]，记作67，卦4——山水蒙
·师101 111[5,7]，记作68，卦7——地水师
·遁110 000[6,0]，记作71，卦33——天山遁
·咸110 001[6,1]，记作72，卦31——泽山咸
·旅110 010[6,2]，记作73，卦56——火山旅
·小过110 011[6,3]，记作74，卦62——雷山小过
·渐110 100[6,4]，记作75，卦53——风山渐
·蹇110 101[6,5]，记作76，卦39——水山蹇
·山110 110[6,6]，记作77，卦52——艮为山
·谦110 111[6,7]，记作78，卦15——地山谦
·否111 000[7,0]，记作81，卦12——天地否
·萃111 001[7,1]，记作82，卦45——泽地萃
·晋111 010[7,2]，记作83，卦35——火地晋
·豫111 011[7,3]，记作84，卦16——雷地豫
·观111 100[7,4]，记作85，卦20——风地观
·比111 101[7,5]，记作86，卦8——水地比
·剥111 110[7,6]，记作87，卦23——山地剥
·地111 111[7,7]，记作88，卦2——坤为地
从上面的总结可以看出，六位二进制数的从乾（000 000）到坤（111 111）符合每次+1的递增规律。然而从六十四卦的卦序分析（同《高岛易断》的目录顺序），六十四卦的排序为：
·11，88，46，67，16，61，68，86
·15，21，18，81，31，13，78，84
·42，57，28，85，43，37，87，48
·41，17，47，52，66，33////72，54
·71，14，83，38，35，23，76，64
·27，45，12，51，82，58，62，56
·32，53，44，77，75，24，34，73
·55，22，65，26，25，74，36，63
从不同的角度观测，64卦的卦序相当的杂乱无章。仅从互卦、复卦的角度来看，互卦仅在第3行、第4行、第6行、第7行不存在，但是却仅存在与第七、第八列；复卦分别分布在第一行、第四行、第七行、第八行。这种不显著的规律增加了分析64卦的难度。
至于如何理解、记忆六十四卦的卦象及分布，笔者将进一步参考其他著作尝试完成“二进制、八卦与六十四卦（三）”。